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这段话定义了现代代数中一个极其核心的概念：同构。让我们把它拆解成最小的单元来理解。

1. 映射 (Map): 首先，$\varphi$ 是一个映射（或者叫函数），它建立了一个从群 $G$ 到群 $G'$ 的对应关系。这意味着对于群 $G$ 中的每一个元素，$\varphi$ 都能指定群 $G'$ 中唯一一个与之对应的元素。我们写作 $\varphi: G \rightarrow G^{\prime}$。$G$ 称为定义域 (domain)，$G'$ 称为陪域 (codomain)。
2. 群同态 (Group Homomorphism): 这不是任意一个映射，它是一个“保持结构”的映射。这里的“结构”指的就是群的二元运算。
   • 假设群 $G$ 的运算是 $\cdot_G$，群 $G'$ 的运算是 $\cdot_{G'}$。
   • “保持结构”意味着，我们在 $G$ 中先进行运算，再通过 $\varphi$ 映射到 $G'$；或者，我们先把 $G$ 中的元素通过 $\varphi$ 映射到 $G'$，再在 $G'$ 中进行运算，这两种方式得到的结果是完全一样的。
   • 用符号表示就是：$\varphi(a \cdot_G b) = \varphi(a) \cdot_{G'} \varphi(b)$。为了简洁，当上下文清晰时，我们通常省略运算符号，直接写成 $\varphi(ab) = \varphi(a)\varphi(b)$。左边的 $ab$ 是在 $G$ 中计算的，右边的 $\varphi(a)\varphi(b)$ 是在 $G'$ 中计算的。
   • 同态 (Homomorphism) 这个词的词根 "homo" 意为 "same" (相同)，"morph" 意为 "form" 或 "shape" (形式或形状)。所以同态字面意思就是“形式相同”的映射。
3. 双射 (Bijective): 这对映射 $\varphi$ 提出了更严格的要求，它必须同时是单射和满射。
   • 单射 (Injective, or one-to-one): 群 $G$ 中不同的元素，一定会被映射到群 $G'$ 中不同的元素。如果 $a \neq b$ (在 $G$ 中)，那么一定有 $\varphi(a) \neq \varphi(b)$ (在 $G'$ 中)。换句话说，不允许“多对一”的映射。这保证了没有信息在映射过程中被“压缩”或“丢失”。
   • 满射 (Surjective, or onto): 群 $G'$ 中的任何一个元素，都至少是 $G$ 中某个元素映射过来的像。也就是说，对于 $G'$ 中的任意元素 $y$，都存在 $G$ 中的一个元素 $x$ 使得 $\varphi(x) = y$。这保证了映射覆盖了整个目标群 $G'$，没有任何一个 $G'$ 的元素被“遗漏”。
4. 同构 (Isomorphism): 将以上三点结合起来，同构就是一个保持群运算结构的一一对应关系。
   • 词根 "iso" 意为 "equal" (相等)。所以同构字面意思就是“形式相等”的映射。
   • 如果两个群之间存在一个同构，我们就说这两个群是同构的。这意味着，从抽象代数的角度看，这两个群的结构是完全一样的，它们只是“看起来”不一样，比如元素的命名不同，或者运算的符号不同。它们本质上是同一个群的两种不同实现或表示。

1. 定义群:
   • 群 $G$: 实数加法群 $(\mathbb{R}, +)$。元素是所有实数，运算是加法。单位元是 $0$，任意元素 $x$ 的逆元是 $-x$。
   • 群 $G'$: 正实数乘法群 $(\mathbb{R}^+, \times)$。元素是所有大于零的实数，运算是乘法。单位元是 $1$，任意元素 $y$ 的逆元是 $1/y$。
2. 定义映射:
   • 映射 $\varphi: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^+$ 定义为 $\varphi(x) = e^x$。这里的 $e$ 是自然对数的底。
3. 验证同构:
   • 同态: 验证 $\varphi(x+y) = \varphi(x)\varphi(y)$。
   • 左边：在 $G$ 中先运算，$\varphi(x+y) = e^{x+y}$。
   • 右边：在 $G'$ 中后运算，$\varphi(x)\varphi(y) = e^x \times e^y$。
   • 根据指数运算法则，$e^{x+y} = e^x e^y$。所以左边 = 右边，该映射是同态。这个同态把加法变成了乘法。
   • 双射:
   • 单射: 如果 $\varphi(x_1) = \varphi(x_2)$，那么 $e^{x_1} = e^{x_2}$。两边取自然对数 $\ln$，得到 $\ln(e^{x_1}) = \ln(e^{x_2})$，即 $x_1 = x_2$。所以是单射。
   • 满射: 对于 $G'$ 中任意一个正实数 $y$，我们总能找到 $G$ 中的一个实数 $x = \ln(y)$ (因为 $y>0$，所以 $\ln(y)$ 有定义)，使得 $\varphi(x) = e^x = e^{\ln(y)} = y$。所以是满射。
4. 结论: 指数映射是一个同构。这意味着实数加法群和正实数乘法群在结构上是完全一样的。加法中的 $0$ 对应乘法中的 $1$ ($\varphi(0)=e^0=1$)，加法中的相反数 $-x$ 对应乘法中的倒数 $1/e^x$ ($\varphi(-x)=e^{-x}=1/e^x$)。

1. 定义群:
   • 群 $G_1$: 整数加法群 $(\mathbb{Z}, +)$。元素是所有整数，运算是加法。
   • 群 $G_2$: 由 $G$ 中一个无限阶元素 $a$ 生成的循环子群 $\langle a \rangle$。
   • 无限阶元素 $a$ 指的是，对于任何正整数 $n$，$a^n$ 都不等于单位元 $e$。
   • $\langle a \rangle = \{\dots, a^{-2}, a^{-1}, a^0=e, a^1, a^2, \dots\}$。这个群的运算是继承自 $G$ 的运算。
2. 定义映射:
   • 映射 $\varphi: \mathbb{Z} \rightarrow \langle a \rangle$ 定义为 $\varphi(n) = a^n$。
3. 验证同构:
   • 同态: 验证 $\varphi(n+m) = \varphi(n)\varphi(m)$。
   • 左边：在 $\mathbb{Z}$ 中先运算，$\varphi(n+m) = a^{n+m}$。
   • 右边：在 $\langle a \rangle$ 中后运算，$\varphi(n)\varphi(m) = a^n a^m$。
   • 根据幂运算法则，$a^{n+m} = a^n a^m$。所以是同态。
   • 双射:
   • 单射: 如果 $\varphi(n) = \varphi(m)$，那么 $a^n = a^m$。两边同乘以 $a^{-m}$，得到 $a^{n-m} = e$。因为 $a$ 是无限阶元素，这只有在指数 $n-m=0$ 时才成立，即 $n=m$。所以是单射。
   • 满射: 对于 $\langle a \rangle$ 中任意一个元素 $y$，根据定义，它必然可以写成 $a^k$ 的形式（$k$ 是某个整数）。那么我们总能找到 $\mathbb{Z}$ 中的元素 $x=k$，使得 $\varphi(x) = \varphi(k) = a^k = y$。所以是满射。
4. 结论: 该映射是一个同构。这个结论非常重要：任何一个由无限阶元素生成的无限循环群，都与整数加法群 $(\mathbb{Z}, +)$ 同构。这说明从抽象结构的角度看，只存在一种无限循环群。

1. 定义群:
   • 群 $G_1$: 对称群 $S_n$，其元素是集合 $\{1, 2, \dots, n\}$ 上的所有置换（双射函数），群运算是函数复合。
   • 群 $G_2$: $n \times n$ 置换矩阵群 $\mathcal{P}$。
   • 置换矩阵是这样一种矩阵：每行每列都只有一个 1，其余元素都是 0。
   • 它是一般线性群 $GL_n$ (所有 $n \times n$ 可逆矩阵构成的乘法群) 的一个子群。
2. 定义映射:
   • 映射 $\varphi: S_n \rightarrow \mathcal{P}$ 的规则是：对于一个置换 $\sigma \in S_n$，它对应的矩阵 $P_\sigma$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列的元素 $(P_\sigma)_{ij}$ 定义为：如果 $\sigma(j) = i$，则为 1；否则为 0。
   • 一个更直观的方式是：$P_\sigma$ 是将单位矩阵 $I$ 的列按照置换 $\sigma$ 进行重排得到的矩阵。具体来说，$P_\sigma$ 的第 $j$ 列是单位矩阵的第 $\sigma(j)$ 列。
3. 验证同构:
   • 同态: 设有两个置换 $\sigma, \tau \in S_n$，其复合为 $\sigma \circ \tau$。需要验证 $\varphi(\sigma \circ \tau) = \varphi(\sigma)\varphi(\tau)$，即 $P_{\sigma \circ \tau} = P_\sigma P_\tau$。这是一个可以被证明的矩阵乘法性质，即对置换进行复合，等价于对它们对应的置换矩阵进行相乘。
   • 双射:
   • 单射: 不同的置换会以不同的方式重排单位矩阵的列，从而得到不同的置换矩阵。所以是单射。
   • 满射: 根据定义，每一个置换矩阵都对应一个置换。所以是满射。
4. 结论: 该映射是一个同构。这说明对称群 $S_n$ 和 $n \times n$ 置换矩阵群 $\mathcal{P}$ 是同构的。这提供了一种将抽象的置换概念转化为线性代数中具体对象（矩阵）的方法，这种表示称为“忠实表示”。

这段话基于之前关于同态的知识（特别是第一同构定理的基础），给出了一个更代数化、更实用的判断同构的方法。

1. 回顾同构定义: 同构 = 同态 + 双射。其中 双射 = 单射 + 满射。所以，要证明一个映射是同构，需要分三步：
   • (a) 证明是同态。
   • (b) 证明是单射。
   • (c) 证明是满射。
2. 用核 (Kernel) 判断单射:
   • 核的定义: 对于一个群同态 $\varphi: G \rightarrow G^{\prime}$，它的核 (kernel)，记作 $\operatorname{ker} \varphi$，是 $G$ 中所有被映射到 $G'$ 中单位元 $e'$ 的元素的集合。即 $\operatorname{ker} \varphi = \{x \in G \mid \varphi(x) = e'\}$。
   • 关键定理 (推论 2.5.9 的一部分): 一个群同态 $\varphi$ 是单射的，当且仅当它的核只包含单位元 $e$。即 $\operatorname{ker} \varphi = \{e\}$。（在原文中用 $\{1\}$ 表示，这是一种常见的写法，用 1 代表抽象的单位元）。
   • 为什么?
   • ($\Rightarrow$) 如果 $\varphi$ 是单射，那么只有一个元素能映射到 $e'$。我们知道 $\varphi(e) = e'$ (同态的基本性质)，所以这个唯一的元素就是 $e$。因此 $\operatorname{ker} \varphi = \{e\}$。
   • ($\Leftarrow$) 如果 $\operatorname{ker} \varphi = \{e\}$，我们要证明 $\varphi$ 是单射。假设 $\varphi(a) = \varphi(b)$。两边同乘以 $(\varphi(b))^{-1}$，得到 $\varphi(a)(\varphi(b))^{-1} = e'$。由于 $\varphi$ 是同态，$(\varphi(b))^{-1} = \varphi(b^{-1})$，所以 $\varphi(a)\varphi(b^{-1}) = \varphi(ab^{-1}) = e'$。这说明元素 $ab^{-1}$ 在核里。但我们已知核里只有一个元素 $e$，所以 $ab^{-1} = e$。两边同乘以 $b$，得到 $a=b$。这就证明了 $\varphi$ 是单射。
   • 所以，步骤 (b) “证明是单射” 可以替换为 “计算核并证明其只含单位元”。
3. 用像 (Image) 判断满射:
   • 像的定义: 对于一个映射 $\varphi: G \rightarrow G^{\prime}$，它的像 (image)，记作 $\operatorname{im} \varphi$，是 $G'$ 中所有可以被 $G$ 中元素映射到的元素的集合。即 $\operatorname{im} \varphi = \{\varphi(x) \mid x \in G\}$。像是陪域 $G'$ 的一个子集（对于同态来说，它还是一个子群）。
   • 满射的定义: $\varphi$ 是满射，当且仅当陪域中的每个元素都被映射到了，即陪域 $G'$ 等于像 $\operatorname{im} \varphi$。
   • 所以，步骤 (c) “证明是满射” 可以直接替换为 “证明 $\operatorname{im} \varphi = G'$”。
4. 新的验证流程: 要验证一个同态 $\varphi: G \rightarrow G^{\prime}$ 是同构，我们只需要检查两点：
   • (1) $\operatorname{ker} \varphi = \{e_G\}$ (单射条件)
   • (2) $\operatorname{im} \varphi = G^{\prime}$ (满射条件)

这个引理说明同构关系是对称的：如果 $G$ 同构于 $G'$，那么 $G'$ 也同构于 $G$。

1. 前提: 我们已知 $\varphi: G \rightarrow G^{\prime}$ 是一个同构。这意味着：
   • $\varphi$ 是一个同态 ($\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)$)。
   • $\varphi$ 是一个双射 (单射且满射)。
2. 逆映射的存在性: 正因为 $\varphi$ 是一个双射，根据集合论/函数理论，它的逆映射 $\varphi^{-1}: G^{\prime} \rightarrow G$ 必然存在，并且也必然是一个双射。
   • 逆映射 $\varphi^{-1}$ 的定义是：如果 $\varphi(x)=y$，那么 $\varphi^{-1}(y)=x$。
   • 因为原来的 $\varphi$ 是“一对一”且“无遗漏”的，所以反过来的 $\varphi^{-1}$ 也是“一对一”且“无遗漏”的。
3. 需要证明的核心: 我们已经知道 $\varphi^{-1}$ 是一个双射了。要证明它是一个同构，剩下的唯一任务就是证明它也是一个同态。也就是说，要证明它保持了 $G'$ 到 $G$ 的运算结构。
4. 证明 $\varphi^{-1}$ 是同态:
   • 我们需要证明，对于 $G'$ 中的任意两个元素 $x$ 和 $y$，都有 $\varphi^{-1}(xy) = \varphi^{-1}(x)\varphi^{-1}(y)$。
   • 注意，这里的 $xy$ 是在 $G'$ 中的运算，而右边的 $\varphi^{-1}(x)\varphi^{-1}(y)$ 是在 $G$ 中的运算。
   • 证明的技巧是利用 $\varphi$ 的性质。我们设一些变量来让表达式更清晰：
   • 令 $a = \varphi^{-1}(x)$，这意味着 $\varphi(a) = x$。
   • 令 $b = \varphi^{-1}(y)$，这意味着 $\varphi(b) = y$。
   • 现在，我们要证明的等式变成了 $\varphi^{-1}(xy) = ab$。
   • 因为 $\varphi$ 是一个双射，要证明两个元素（这里是 $\varphi^{-1}(xy)$ 和 $ab$）相等，我们只需要证明它们在 $\varphi$ 映射下的像是相等的。即，我们去验证 $\varphi(\varphi^{-1}(xy)) = \varphi(ab)$。
   • 左边：根据逆映射的定义，$\varphi(\varphi^{-1}(xy)) = xy$。
   • 右边：因为 $\varphi$ 是一个同态，所以 $\varphi(ab) = \varphi(a)\varphi(b)$。而根据我们前面的设定，$\varphi(a)=x, \varphi(b)=y$。所以右边等于 $xy$。
   • 左边 = 右边，即 $xy = \varphi(ab)$。
   • 将 $\varphi(ab) = xy$ 两边同时用 $\varphi^{-1}$ 作用，得到 $\varphi^{-1}(\varphi(ab)) = \varphi^{-1}(xy)$，即 $ab = \varphi^{-1}(xy)$。
   • 这正是我们想要证明的：$\varphi^{-1}(x)\varphi^{-1}(y) = \varphi^{-1}(xy)$。
   • 因此，$\varphi^{-1}$ 是一个同态。
5. 结论: 因为 $\varphi^{-1}$ 既是双射又是同态，所以它是一个同构。

这几段是对同构概念的意义和应用的进一步阐述。

1. 同构的实践意义:
   • “可以在任一群中进行计算，然后转换结果”：这正是同构的威力所在。例如，我们想计算 $e^{1.2} \times e^{3.4}$。利用 $(\mathbb{R}^+, \times) \approx (\mathbb{R}, +)$，我们可以：
2. 用 $\varphi^{-1}(y)=\ln(y)$ 转换到加法群：$\ln(e^{1.2}) = 1.2$, $\ln(e^{3.4}) = 3.4$。
3. 在加法群中计算：$1.2 + 3.4 = 4.6$。
4. 用 $\varphi(x)=e^x$ 转换回乘法群：$e^{4.6}$。
   • 这个过程 ln -> add -> exp 得到的结果和直接做乘法是一样的。在古代，这正是对数计算尺的原理，它把复杂的乘法问题转换为了简单的加法问题。
5. “无法区分”的预言机思想实验:
   • 这个思想实验非常精彩，它抓住了同构的本质。
   • 想象有两个袋子，一个装着群 $G$ 的元素，一个装着群 $G'$ 的元素。所有元素都用无差别的标签（比如“盒子1”，“盒子2”）。
   • 你有一个预言机，你给它任意两个盒子的标签，它会告诉你装有这两个元素运算结果的盒子的标签是什么。
   • 结论: 仅凭这个预言机，你无法分辨出你正在操作的是哪个袋子里的元素。因为 $G$ 和 $G'$ 的“运算结构图”是完全一样的，预言机给出的答案模式也会完全一样。
   • 这就是“代数结构上无法区分”的含义。
6. 同构的记法:
   • 引入符号 $G \approx G'$ 来表示 “$G$ 与 $G'$ 同构”。这个符号 $\approx$ 直观地表达了“约等于”或“相似”的含义，在群论里特指结构上的完全相同。
7. 同构类 (Isomorphism Class):
   • 基于同构是一个等价关系（自反、对称、传递），我们可以用它来划分整个群的世界。
   • 一个同构类就是所有相互同构的群构成的一个巨大集合。
   • 例如，$(\mathbb{Z},+), (2\mathbb{Z},+), (\langle \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \rangle, \times)$ 等等所有无限循环群，都属于同一个同构类。我们通常用 $(\mathbb{Z},+)$ 作为这个同构类的“标准代表”。
8. 群的分类 (Classification of Groups):
   • 群论的一个核心目标就是分类。但不是列出所有具体的群，而是列出所有的同构类。
   • “描述同构类”意味着，对于给定的一个阶数 $n$，我们想知道存在多少种本质不同（即互不同构）的群结构。
   • 简单情况:
   • 阶为 $p$（$p$是素数）：只存在一种结构，即循环群 $C_p$。所以所有阶为 $p$ 的群都同构于 $(\mathbb{Z}_p, +)$。这是一个深刻的结论（拉格朗日定理的推论）。
   • 阶为 4：存在两种结构。一种是循环群 $C_4$（与 $(\mathbb{Z}_4,+)$ 同构），另一种是克莱因四元群 $V_4$（与 $(\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2, +)$ 同构）。
   • 复杂情况: 随着阶数的增大，同构类的数量会爆炸式增长。例如，阶为 12 的群有 5 个同构类；阶为 1024 的群，有多达 49,487,365,422 个同构类！
   • 分类是极其困难但意义重大的任务。有限单群分类定理是20世纪数学最辉煌的成就之一。

1. 定义: 自同构是同构的一个特例，它的特殊之处在于源群和目标群是同一个群 $G$。所以，一个自同构是一个从 $G$ 到 $G$ 的、保持群运算的双射。
2. 作用: 自同构可以被看作是群的一种“对称性”。它是一种“洗牌”群内元素的方式，但是在“洗牌”之后，整个群的运算结构（乘法表）保持不变。
3. 平凡的自同构: 对于任何群 $G$，定义映射 $\operatorname{id}: G \rightarrow G$ 为 $\operatorname{id}(x)=x$（即恒等映射）。
   • 同态性: $\operatorname{id}(xy) = xy$，而 $\operatorname{id}(x)\operatorname{id}(y) = xy$。所以是同态。
   • 双射性: 恒等映射显然是双射。
   • 所以恒等映射总是一个自同构，被称为“平凡的”自同构。
4. 非平凡的自同构: 有趣的是那些不是恒等映射的自同构。它们揭示了群内部更深层的对称性。

1. 定义: 共轭是一种非常特殊的自同构，它是由群中的某个固定元素 $g$ 诱导的。
   • 我们选定一个元素 $g \in G$。
   • 然后我们定义一个映射 $\varphi_g: G \rightarrow G$，它对任何输入的元素 $x \in G$，输出 $gxg^{-1}$。
   • 这个操作 $x \mapsto gxg^{-1}$ 就叫做“用 $g$ 对 $x$ 进行共轭”。
2. 验证共轭是自同构:
   • (a) 证明是同态: 我们要验证 $\varphi_g(xy) = \varphi_g(x)\varphi_g(y)$。
   • 左边：$\varphi_g(xy) = g(xy)g^{-1}$。
   • 右边：$\varphi_g(x)\varphi_g(y) = (gxg^{-1})(gyg^{-1})$。
   • 关键技巧：在中间插入一个“单位元”，即 $g^{-1}g$。
   • $\varphi_g(xy) = gxyg^{-1} = g x (e) y g^{-1} = g x (g^{-1}g) y g^{-1} = (gxg^{-1})(gyg^{-1}) = \varphi_g(x)\varphi_g(y)$。
   • 所以，共轭映射确实是同态。
   • (b) 证明是双射:
   • 要证明一个映射是双射，一个快捷方法是找到它的逆映射。
   • 我们猜测 $\varphi_g$ 的逆是 $\varphi_{g^{-1}}$。来验证一下：
   • $(\varphi_{g^{-1}} \circ \varphi_g)(x) = \varphi_{g^{-1}}(\varphi_g(x)) = \varphi_{g^{-1}}(gxg^{-1})$
   • $(\varphi_g \circ \varphi_{g^{-1}})(x) = \varphi_g(\varphi_{g^{-1}}(x)) = \varphi_g(g^{-1}xg)$
   • 因为我们找到了一个双向的逆映射，所以 $\varphi_g$ 是一个双射。
   • 结论: 既然共轭映射既是同态又是双射，那么它就是一个自同构。这种由共轭产生的自同构也叫内自同构 (Inner Automorphism)。
3. 共轭在不同群中的表现:
   • 阿贝尔群 (交换群): 如果群是阿贝尔群，那么对于任何 $g, x$，都有 $gx=xg$。因此 $\varphi_g(x) = gxg^{-1} = xgg^{-1} = xe = x$。所以，在阿贝尔群中，任何元素的共轭操作都等于恒等映射。所有的内自同构都是平凡的。
   • 非交换群: 只要群中存在一对元素 $g, x$ 使得 $gx \neq xg$，那么 $\varphi_g(x) = gxg^{-1} \neq x$。这意味着共轭操作会实际地移动元素，产生非平凡的自同构。

1. 共轭元素 (Conjugate Elements):
   • 这是一个关系定义。我们说元素 $x'$ 与元素 $x$ 共轭，意思是 $x'$ 可以通过用某个 $g$ 对 $x$ 进行共轭操作得到。
   • 这个关系也是一个等价关系：
   • 自反性: $x = exe^{-1}$，所以 $x$ 与自身共轭（取 $g=e$）。
   • 对称性: 如果 $x' = gxg^{-1}$，那么两边左乘 $g^{-1}$ 右乘 $g$，得到 $g^{-1}x'g = x$。令 $h=g^{-1}$，则 $x = hx'h^{-1}$。所以 $x$ 也与 $x'$ 共轭。
   • 传递性: 如果 $x' = g_1 x g_1^{-1}$ 且 $x'' = g_2 x' g_2^{-1}$，那么 $x'' = g_2 (g_1 x g_1^{-1}) g_2^{-1} = (g_2 g_1) x (g_1^{-1}g_2^{-1}) = (g_2 g_1) x (g_2 g_1)^{-1}$。令 $h=g_2g_1$，则 $x''=hxh^{-1}$。所以 $x''$ 与 $x$ 共轭。
   • 由于是等价关系，共轭关系可以将群 $G$ 划分为不相交的集合，这些集合称为共轭类 (Conjugacy Classes)。
2. 共轭元素的相似性:
   • “行为方式非常相似”是一个关键洞察。为什么？因为 $x'$ 是 $x$ 在一个自同构下的像。
   • 同构（包括自同构）的本质就是保持所有群论性质。
   • 例如，元素的阶 (Order):
   • 元素的阶是使得 $x^n=e$ 的最小正整数 $n$。
   • 假设 $x$ 的阶是 $n$，即 $x^n=e$。
   • 那么 $(gxg^{-1})^n = (gxg^{-1})(gxg^{-1})\dots(gxg^{-1})$ (共 $n$ 个)。
   • 中间的 $g^{-1}g$ 会抵消，所以上式等于 $gx^ng^{-1}$。
   • 因为 $x^n=e$，所以 $gx^ng^{-1} = geg^{-1} = e$。
   • 这说明 $gxg^{-1}$ 的阶至多为 $n$。
   • 反过来，如果 $(gxg^{-1})^k = e$，即 $gx^kg^{-1}=e$，两边左乘 $g^{-1}$ 右乘 $g$，得到 $x^k=e$。这说明 $k$ 必须是 $n$ 的倍数。
   • 结合两点， $gxg^{-1}$ 的阶恰好也是 $n$。
   • 结论：共轭操作不改变元素的阶。一个共轭类里所有元素的阶都相同。

1. 问题: 给定 $x, y \in G$，如何找到一个 $g \in G$ (如果存在的话) 使得 $y = gxg^{-1}$。
2. 直接求解的困难: 方程 $y = gxg^{-1}$ 中，未知数 $g$ 出现在了两侧，还有一个逆 $g^{-1}$，直接代入 $g$ 的可能值去试算会很麻烦。
3. 变形: 将方程 $y = gxg^{-1}$ 两边同时右乘 $g$。
   • $y g = (gxg^{-1})g$
   • $y g = gx(g^{-1}g)$
   • $y g = gxe$
   • $y g = gx$
4. 新方程的优势:
   • 方程 $yg = gx$ 中，未知数 $g$ 只以 $g$ 的形式出现，没有 $g^{-1}$ 了。
   • 它变成了一个关于 $g$ 的线性方程（在群的意义下）。
   • 在具体的群（如矩阵群或置换群）中，这个形式通常更容易设立一个方程组来求解构成 $g$ 的未知参数。

1. 定义: 两个元素 $a, b$ 的换位子，通常记作 $[a, b]$，定义为 $[a, b] = aba^{-1}b^{-1}$。
2. 意义: 换位子测量了 $a$ 和 $b$ 的不交换程度。
   • 如果 $a$ 和 $b$ 交换，即 $ab=ba$，那么 $[a, b] = aba^{-1}b^{-1} = (ba)a^{-1}b^{-1} = b(aa^{-1})b^{-1} = beb^{-1} = bb^{-1} = e$。
   • 反之，如果 $[a, b] = e$，即 $aba^{-1}b^{-1}=e$，那么两边右乘 $b$ 再右乘 $a$，得到 $ab = ba$。
   • 所以，$a,b$ 交换 当且仅当 它们的换位子是单位元。
3. 换位子子群: 由所有换位子生成的子群 $[G,G]$ 称为 $G$ 的导群 (derived subgroup) 或换位子子群，它在研究群的阿贝尔性和可解性中扮演核心角色。

这个引理列出了三个等价的陈述。

• 陈述 A: $a$ 和 $b$ 交换，即 $ab=ba$。
• 陈述 B: $aba^{-1} = b$。
• 陈述 C: $aba^{-1}b^{-1} = 1$ (这里的1指单位元 $e$)。

我们要证明 $A \iff B \iff C$。

1. 证明 $A \iff B$:
   • ($A \Rightarrow B$): 假设 $ab=ba$。我们想证明 $aba^{-1}=b$。
   • 在 $ab=ba$ 的两边同时右乘 $a^{-1}$。
   • $aba^{-1} = baa^{-1}$。
   • $aba^{-1} = be$。
   • $aba^{-1} = b$。得证。
   • ($B \Rightarrow A$): 假设 $aba^{-1}=b$。我们想证明 $ab=ba$。
   • 在 $aba^{-1}=b$ 的两边同时右乘 $a$。
   • $aba^{-1}a = ba$。
   • $abe = ba$。
   • $ab = ba$。得证。
2. 证明 $B \iff C$:
   • ($B \Rightarrow C$): 假设 $aba^{-1}=b$。我们想证明 $aba^{-1}b^{-1}=e$。
   • 在 $aba^{-1}=b$ 的两边同时右乘 $b^{-1}$。
   • $aba^{-1}b^{-1} = bb^{-1}$。
   • $aba^{-1}b^{-1} = e$。得证。
   • ($C \Rightarrow B$): 假设 $aba^{-1}b^{-1}=e$。我们想证明 $aba^{-1}=b$。
   • 在 $aba^{-1}b^{-1}=e$ 的两边同时右乘 $b$。
   • $aba^{-1}b^{-1}b = eb$。
   • $aba^{-1}e = b$。
   • $aba^{-1} = b$。得证。
3. 结论: 由于 $A \iff B$ 且 $B \iff C$，所以这三个陈述是完全等价的。

这个引理通过简单的代数变形，将“两元素可交换”这个性质与另外两种形式联系起来。

• 陈述 A: $a$ 和 $b$ 交换，即 $ab=ba$。
• 陈述 B: $aba^{-1} = b$。
• 陈述 C: $aba^{-1}b^{-1} = 1$ (这里的1指单位元 $e$)。

这三个陈述是等价的。

1. $A \iff B$:
   • 从 $ab=ba$ 出发，两边右乘 $a^{-1}$，得到 $aba^{-1} = baa^{-1} = b$，所以 $A \Rightarrow B$。
   • 从 $aba^{-1}=b$ 出发，两边右乘 $a$，得到 $aba^{-1}a = ba$，即 $ab=ba$，所以 $B \Rightarrow A$。
2. $B \iff C$:
   • 从 $aba^{-1}=b$ 出发，两边右乘 $b^{-1}$，得到 $aba^{-1}b^{-1} = bb^{-1} = e$，所以 $B \Rightarrow C$。
   • 从 $aba^{-1}b^{-1}=e$ 出发，两边右乘 $b$，得到 $aba^{-1}b^{-1}b = eb$，即 $aba^{-1}=b$，所以 $C \Rightarrow B$。

这个引理将本节介绍的共轭概念 ($gxg^{-1}$) 与群的基本性质（交换性）联系起来，并自然地引入了换位子这个将在后续章节中变得非常重要的新工具。它揭示了交换性等价于用一个元素对另一个元素进行共轭操作后，后者保持不变。